Gottfried Wilhelm von Leibniz  (1646 − 1716)

 

 

 

Orphelin de mère à 6 ans, il est élevé par son père, professeur de philosophie morale à l’Université de Leipzig. Celui-ci lui apprend à lire, mais Leibniz, enfant précoce, affirma avoir appris par lui-même le latin. En 1663, il obtient son baccalauréat en philosophie ancienne, puis entre à l’université de droit de Leipzig. En 1666, il devient docteur en droit à Nuremberg et refuse peu après un poste de professeur. Il s’affilie à une société de la Rose Croix, dont il sera secrétaire pendant deux ans.

En 1669, il devient conseiller à la Chancellerie de Mayence, auprès du baron Johann Christian von Boyneburg. Il travaille alors sur plusieurs ouvrages sur des thèmes politiques (Modèle de démonstrations politiques pour l’élection du roi de Pologne) ou scientifiques (Nouvelles Hypothèse physiques, 1671).

Il est envoyé en 1672 à Paris, en mission diplomatique dit-on, pour convaincre Louis XIV de porter ses conquêtes vers l’Égypte plutôt que l’Allemagne. Il y reste jusqu’en 1676 et y rencontre les grands savants de l’époque : Huygens et Malebranche, entre autres. Il se consacre aux mathématiques et laisse à Paris son manuscrit sur la quadrature arithmétique du cercle. Il travaille également sur ce qui sera le calcul infinitésimal. Il conçoit en 1673 une machine à calculer qui permet d'effectuer les quatre opérations, et qui inspirera bien des machines à calculer du XIXe et XXe siècle (Thomas de Colmar, Curta). Avant de rejoindre Hanovre, il se rend à Londres étudier certains écrits d’Isaac Newton, jetant, tous les deux, les bases du calcul intégral et différentiel. Il passe également par La Haye où il rencontre Baruch Spinoza.

En 1676, à la mort de son protecteur, le baron von Boyneburg, le duc de Brunswick le nomme bibliothécaire du Hanovre. Il reste à ce poste au service des ducs de Hanovre pendant près de 40 ans. Il s’occupe aussi de mathématique, de physique, de religion et de diplomatie. En 1684, il publie dans les Acta Eruditorum son article sur les différentielles et en 1686 celui sur les intégrales. En 1686, il publie en français ses Discours de métaphysique. En 1687, il se lance dans une Histoire de la maison de Brunswick, pour lequel il parcourt l’Italie en quête de documentations. En 1691, il publie à Paris, dans le Journal des savants, un Essai de dynamique qui définit l’énergie et l’action. En 1700, il crée une Académie à Berlin qui ne sera inaugurée qu’en 1711. En 1710, il publie ses Essais de Théodicée, résultats de discussions avec le philosophe Pierre Bayle.

 

Reconnu comme le plus grand intellectuel d’Europe, et pensionné par plusieurs grandes cours (Pierre Le Grand en Russie, Charles VI en Autriche qui le fait Baron), correspondant des souverains et souveraines - notamment de Sophie-Charlotte de Hanovre - il meurt le 14 novembre 1716.

Comme philosophe, il s’est intéressé fort tôt à la scolastique et à la syllogistique. Il a conçu le projet d’une encyclopédie ou « bibliothèque universelle » :

« Il importe à la félicité du genre humain que soit fondée une Encyclopédie, c’est-à-dire une collection ordonnée de vérités suffisant, autant que faire se peut, à la déduction de toutes choses utiles. » Initia et specimina scientiae generalis, 1679-1680.

Comme mathématicien, il a fait entrer les sciences dans la nouvelle ère de l’analyse intégro-différentielle.

 

Pour Leibniz, la physique a sa raison dans la métaphysique. Si la physique étudie les mouvements de la nature, quelle réalité est ce mouvement, quelle cause a-t-il ? Le mouvement est relatif, c'est-à-dire qu'une chose se meut selon la perspective d’où nous la regardons. Le mouvement n’est donc pas la réalité elle-même ; la réalité est la force qui subsiste en dehors de tout mouvement et qui en est la cause : la force subsiste, le repos et mouvement étant des différences phénoménales relatives.

Leibniz définit la force comme « ce qu’il y a dans l’état présent, qui porte avec soi un changement pour l’avenir. » Cette théorie est un rejet de l’atomisme ; en effet, si l’atome est une réalité absolument rigide, il ne peut perdre de force dans les chocs. Il faut donc que ce que l’on nomme atome soit en réalité composé et élastique. L’idée d’atome absolu est contradictoire :

« Les atomes ne sont que l’effet de la faiblesse de notre imagination, qui aime à se reposer et à se hâter à venir dans les sous divisions ou analyses. »

Ainsi la force est-elle la réalité : la force est substance, toute substance est force. La force est dans un état, et se modifie suivant des lois du changement. Cette succession d’états changeants possède un ordre régulier, c.-à-d. chaque état a une raison (cf. principe de raison suffisante) : chaque état s’explique par celui qui précède, il y trouve sa raison. À cette notion de loi se rattache également l’idée d’individualité : l’individualité est pour Leibniz une série de changements, série qui se présente comme une formule :

« La loi du changement fait l’individualité de chaque substance particulière. »

 

Les travaux mathématiques de Leibniz se trouvent dans le Journal des savants de Paris, les Acta Eruditorum de Leipzig (qu’il a contribué à fonder) ainsi que dans son abondante correspondance avec Huygens, les frères Bernoulli, l’Hospital, Varignon, etc.

L’algorithme différentio-intégral achève une recherche débutée avec la codification de l’algèbre par Viète et l’algébrisation de la géométrie par Descartes. Tout le XVIIe siècle étudie l’indivisible et l’infiniment petit. Comme Newton, Leibniz domine tôt les indéterminations dans le calcul des dérivés. De plus il développe un algorithme qui est l’outil majeur pour l’analyse d’un tout et de ses parties, fondé sur l’idée que toute chose intègre des petits éléments dont les variations concourent à l’unité. Ses travaux sur ce qu’il appelait la « spécieuse supérieure » seront poursuivis par les frères Bernoulli, le marquis de l’Hospital, Euler et Lagrange.

Leibniz développe une symbolique mathématique qu’il tente d’intégrer dans une notion plus générale qu’il appelle sa caractéristique universelle qu’il voulait pouvoir appliquer à tous les domaines.

Il est à l’origine du terme de « fonction » (1692, de functio : exécution), de celui de « coordonnées », de la notation du produit de a par b sous la forme a.b ou ab, d’une définition logique de l’égalité, du terme de « différentielle » (qu’Isaac Newton appelle « fluxion »), de la notation différentielle \partial{x}\ , du symbole

 

\int_{t=x_0}^{x}f(t).\partial{t}

pour l’intégrale.

Dans l’histoire du calcul infinitésimal, le procès de Newton contre Leibniz est resté célèbre. Newton et Leibniz avaient trouvé l’art de lever les indéterminations dans le calcul des tangentes ou dérivées. Mais Newton a publié tard (son procès intervient en 1713, presque 30 ans après les publications de Leibniz, en 1684 et 1686) et, surtout, Newton n’a ni l’algorithme différentio-intégral fondé sur l’idée que les choses sont constituées de petits éléments, ni l’approche arithmétique nécessaire à des différentielles conçues comme « petites différences finies ».

 

Leibniz s’intéresse aux systèmes d’équations et pressent l’usage des déterminants. Dans son traité sur l’art combinatoire, science générale de la forme et des formules, il développe des techniques de substitution pour la résolution d’équation. Il travaille sur la convergence des séries, le développement en série entière des fonctions comme l’exponentielle, le logarithme, les fonctions trigonométriques (1673). Il découvre la courbe brachistochrone et s’intéresse à la rectification des courbes (calcul de leur longueur). Il a étudié le traité des coniques de Pascal et écrit sur le sujet. Il est le premier à créer la fonction x \mapsto a^x(conspectus calculi). Il étudie les enveloppes de courbes et la recherche d’extremum pour une fonction (Nova methodus pro maximis et minimis 1684). Il conçoit une machine arithmétique inspirée de la Pascaline. Il tente aussi une incursion dans la théorie des graphes et la topologie (analysis situs).

Pour l’anecdote, on trouve dans le Compte Rendu de l’Académie des Sciences (Paris, 1703, pp. 85-89 des Mémoires) un article de Leibniz intitulé Explication de l’arithmétique binaire, qui se sert des seuls caractères 0 & 1, (…). Reconnaissant cette manière de représenter les nombres comme étant un héritage très lointain du fondateur de l’Empire Chinois « Fohy », Leibniz s’interroge longuement sur l’utilité des concepts qu’il vient de présenter, notamment en ce qui concerne les règles arithmétiques qu’il développe. Finalement il semble conclure que la seule utilité qu’il voit dans tout ceci est une sorte de beauté essentielle, qui révèle la nature intrinsèque des nombres et de leurs liens mutuels. C’est un quart de millénaire avant l’apparition de l’informatique…

Leibniz était aussi physicien comme de nombreux mathématiciens de son temps. Il a très tôt été mécaniste et l'est resté toute sa vie, mais une différence profonde le sépare d'Isaac Newton : si Newton considère que « la physique se garde de la métaphysique » et cherche à prévoir les phénomènes par sa physique, Leibniz cherche a découvrir l'essence cachée des choses et du monde, sans réussir (ni vouloir ?) à obtenir des calculs précis à propos de phénomènes quelconques, d'ailleurs jamais il n'employa son calcul infinitésimal pour expliquer les lois de la nature. Il en est venu ainsi à reprocher à René Descartes et à Newton de ne pas savoir se passer d'un Deus ex machina (une raison divine cachée) dans leurs physiques car celles-ci n'expliquaient pas tout ce qui est, ce qui est possible et ce qui n'est pas.

 

Concept

Apports de Leibniz

Énergie cinétique (1/2)mv²

Invention du concept, sous le nom de « force vive ». L’énergie potentielle comme différentielle de l’énergie cinétique. Théorème des forces vives. — A l’origine est l'idée de Descartes, que la quantité de mouvement se conserve dans les chocs. Mais Leibniz écrivit « Il se trouve par la raison et par l’expérience que c’est la force vive absolue [mv²] qui se conserve et nullement la quantité de mouvement » (Essai de dynamique, 1691).

Loi de conservation

A enrichi la notion de conservation introduite par Descartes de plusieurs lois de conservation importantes.

Action

« l’Action… est comme le produit de la masse par l’espace et la vitesse, ou du temps par l’énergie ». — L’énergie est une différentielle par le temps de la grandeur universelle existante qui est l’action : « au fond l’exercice de l’énergie ou l’énergie appliquée pendant une durée est l’action, parce que la nature abstraite de l’énergie ne consiste qu’en cela ».

Principe de la moindre action

Le principe de la moindre action a été découvert en 1740 par Maupertuis. En 1751 Samuel König affirma avoir une lettre de Leibniz, datée de 1707, dans laquelle il énonçait ce même principe, donc bien avant Maupertuis. L'Académie de Berlin chargeat Leonhard Euler de se pencher sur le problème de l'autenticité de cette lettre. Euler fît un rapport, en 1752, où il conclut à un faux : Koenig aurait inventé l'existence de cette lettre de Leibnitz. Ce qui n'empèche pas Leibniz d'avoir énoncé (mais pas formalisé mathématiquement), vers 1682, un principe semblable à celui de Fermat.

Loi de continuité

La continuité n’est que limite, la tendance des choses à changer par petites différences finies (différentielles), aussi petites que possibles (en physique) ou aussi petites qu’on voudra (en mathématique) mais variables et non nulles.

Définitions de l’espace et du temps

Leibniz s'opposa à Isaac Newton au sujet de l'espace absolu que définit ce dernier. « J’ai marqué plus d’une fois que je tenais l’espace pour quelque chose de purement relatif, comme le temps ; pour un ordre de coexistences comme le temps est un ordre de successions… Je ne crois pas qu’il y ait aucun espace sans matière. Les expériences qu’on appelle du vide, n’excluent qu’une matière grossière. »

 

 

Sources