Figure 1
États de vibration des solides cristallisés
Phonons
I Chaîne linéaire à un type d’atome
1)Approximation harmonique et mise en équations
Dans un milieu moléculaire solide, l’énergie de cohésion entre atomes est décrite par le potentiel empirique de Lennard-Jones :
Figure 1
Autour de la position d’équilibre, on peut approximer ce potentiel par un
potentiel harmonique : 
. La force dérivant du potentiel, il vient alors que 
. Où 
est le déplacement par rapport à la position d’équilibre et g la constante de force de rappel.
Figure 2
La force d’un atome 1 sur un atome 0 au centre s’écrit :
La force totale sur l’atome au centre de tous les atomes dans la chaîne est donc :
L’équation fondamentale de la dynamique Newtonienne donne :
Nous avons donc un système d’équations différentielles couplées dont on peut écrire la solution sous la forme :
Dans la chaîne représentée figure 2, on a x = na donc : 
. Si l’on injecte cette expression dans notre équation
différentielle il vient la relation de dispersion :
Comme la chaîne est symétrique par rapport à 0, on ne considère que les atomes " positifs " et on introduit un facteur 2.
2)Influence des premiers voisins
Une première approximation grossière nous permet de ne considérer que le cas où :
La relation de dispersion s’écrit alors :
Simulation numérique :
En langage Matlabä on peut écrire le programme principal suivant :
a=1;
m=1;
gamma(1)=1;
w=chaine1(m,a,gamma); % Chaine1 est la
fonction de la relation de dispersion
k=-pi/a:0.1:pi/a; % k dans la
première zone de
Brillouin
plot(k,w);
xlabel('k');
ylabel('omega');
Avec la
fonction suivante :
function
resultat=chaine1(m,a,gma);
k=-pi/a:0.1:pi/a;
gaa=0;
n=length(gma);
for
i=1:n
gaa=gaa+gma(i)*(1-cos(k*i*a));
w(i,:)=sqrt(2/m*gaa);
end
resultat=w;
Remarques :
On obtient la figure suivante :
Figure 3
On a donc :
Si on se place au centre de la zone de Brillouin (k@ 0) le développement limité de la relation de dispersion nous donne :
D’où :
Signification physique de s :
Pour n’importe quel atome dans le cristal, on peut écrire l’équation fondamentale de la dynamique sous la forme :
On a donc une équation de propagation :
Ainsi, s ou la pente au centre de la zone de Brillouin représente la vitesse de propagation des vibrations dans le solide ; s est la vitesse de son dans un cristal.
2)Influence des autres voisins
Nous allons maintenant prendre en compte l’influence des 2ème et 3ème voisins en prenant les constantes des forces de rappel proportionnellement plus faibles (g 2 = ½ et g 3 = 1/3).
Comme dit plus haut, le programme principal est conçu de manière évolutive. La fonction appelée (chaine1.m) reste la même et il suffit de rajouter au vecteur g les deux composantes des forces de rappel :
a=1;
m=1;
gamma=[1 0.5
1/3];
w=chaine1(m1,a,gamma);
k=-pi/a:0.01:pi/a;
plot(k,w);
xlabel('k');
ylabel('omega');
legend('1er
voisins','2eme voisins','3eme voisins',-1);
Nous obtenons alors le graphe suivant :
Figure 4
Il apparaît que pour de faibles valeurs de k (centre de la première zone de Brillouin) la relation de dispersion évolue linéairement. La pente représente alors comme démontré plus haut la vitesse de propagation du son dans le solide.
De plus, pour une même valeur de w , il existe une zone où correspondent 2n (2 à cause de la symétrie par rapport à zéro de la zone de Brillouin) valeurs de k (si n représente le nombre de voisins).
II Chaîne linéaire à deux types d’atomes
Figure 5
L’équation dynamique du système de deux types d’atomes (m1,u1;m2,u2) dans une chaîne avec interaction des premiers voisins à une distance a se résume ici à un système de deux équations différentielles chacune régissant le mouvement d’un type d’atome :
On peut écrire de la manière la plus générale possible la solution de ces équations sous la forme : (b = 2a)
En réinjectant dans le système, il vient :
Ce système n’a des chances d’avoir des solutions non triviales que si son déterminant est nul. On en tire la relation de dispersion w (k) :
Avec m la masse réduite : 
En posant : 
(on prendra pour la simulation m1 = 1 > m2
= 0.5).
On peut réécrire la relation :
Remarques :
Simulation numérique :
En langage Matlabä on peut écrire le programme principal suivant :
a=1;function
resultat=chaine2(m1,m2,a,gma,k2);
w0=2*gma*(1/m1+1/m2);
C=4*m1*m2/(m1+m2)^2;
w(1,:)=sqrt(0.5*w0^2*(1+sqrt(1-C*(sin(k*a)).^2)));
w(2,:)=sqrt(0.5*w0^2*(1-sqrt(1-C*(sin(k*a)).^2)));
resultat=w;
L’exécution de ce programme donne :
Figure 6
Si on se place au centre de la zone de Brillouin (k@ 0), le développement limité de w donne :
D’où
On retrouve la vitesse de propagation dans le solide.
De plus, le rapport des amplitudes des vibrations des atomes 1 et 2 est de B/A soit :
Au centre de la zone de Brillouin on a : (k@ 0)
Û Les 2 types d’atomes vibrent en phase
avec la même amplitude
Û Les 2 types d’atomes vibrent en
opposition de phase dans un rapport proportionnel à leurs masses.
En bord de la zone de Brillouin on a : (k@ p /b)
Û L’atome le plus lourd ne bouge pas.
Û L’atome le plus léger ne bouge
pas.
III Cristal tridimensionnelle à un type d’atome
Nous allons ici généraliser la vibration d’un réseau dans les trois dimensions de l’espace. Les hypothèses simplificatrices nous conduisent encore une fois à ne considérer que l’influence de chaque premiers voisins et utiliser l’approximation harmonique en introduisant la force de rappel g .
La force sur un atome du réseau s’écrit :
Donc :
A 3 dimensions on a : (l=1)
Il faut ici voir que 
n’est pas forcément parallèle au vecteur 
.
Figure 7
L’équation dynamique du système est alors :
De la manière la plus générale possible, les solutions de cette équation sont sous la forme :
Si on pose :
On peut réécrire l’équation sous la forme :
Les valeurs propres de D sont donc les solutions pour 
.
Simulation numérique :
Le logiciel Matlabä possède ses propres routines de calculs de valeurs propres (EIG). Nous prenons égales à l’unité les distances inter atomiques, les constantes de rappels (bien que, comme précédemment, on puisse définir un vecteur g = [1 0,5 0,25 etc.] représentant les forces élastiques des voisins suivants) et les masses des atomes. Nous obtenons les résultats suivants (dans la première zone de Brillouin) :
Figure 8
De manière générale, on peut tirer les conclusions suivantes :
est périodique
Þ 3 vitesses du son différentes.
(figure 8).