Les naines blanches sont des étoiles en fin de vie qui ont brûlé leur carburant d’hydrogène qui entretenait la combustion thermonucléaire. Cette dernière produisait de l’énergie qui contrebalançait l’effondrement de l’étoile sous son propre poids.

Le but de ce travail est tout d’abord d’examiner le comportement d’un gaz d’électrons subissant des pressions gigantesques puis d’établir une relation entre la masse et le rayon d’une naine blanche à l’équilibre. Enfin, nous étudierons la validité du modèle des étoiles polytropes appliqué au cas des naines blanches.

1)Gaz dégénéré d’électrons

Nous étudions un gaz d’électrons sans interaction qui obéit donc à la statistique de Fermi-Dirac. Le nombre moyen d’occupation s’écrit alors :

avec

De manière numérique, nous pouvons simuler l’évolution de l’allure du facteur de Fermi en fonction de l’énergie e et de la température T. Pour cela, on suppose pour simplifier que la constante de Boltzmann k_B=1 et que le potentiel chimique m =2 (on note que celui-ci est dan l’absolu fonction de la température). Ainsi, nous pouvons écrire le petit programme suivant sous Matlabä  :

Nous obtenons alors, en unité arbitraire, la figure suivante :

Figure 1

Quand T® 0, la fonction de Fermi devient une " marche " (ou fonction d’Heavyside) à savoir :

De manière générale, le nombre total d’électrons peut s’écrire :

A basse température, comme nous l’avons vu précédemment on peut simplifier l’intégrale :

On définit la température de Fermi :

S=1/2

N_A=6,02.10²³

h=6,63.10^-34Js^-1

m_e=9,11.10^-31Kg

ainsi

On estime la température de cœur d’une naine blanche autour de 10⁷ K. En prenant comme hypothèse que le gaz d’électrons évolue à température nulle, le rapport . Ce qui signifie que les niveaux d’énergie accessibles aux électrons sont en deçà du niveau de Fermi, par conséquent le gaz est totalement dégénéré et remplit tous les niveaux jusqu’à e _F.

L’approximation de température nulle est donc une bonne approximation pour calculer le niveau de Fermi. La fonction de distribution du nombre d’électrons par énergie peut donc se modéliser par une fonction " marche " ou une fonction d’Heavyside.

2)Calcul de la pression quantique

D’après la statistique de Fermi-Dirac, la fonction de partition généralisée du système s’écrit :

Il s’agit ici de fermions donc = 0 ou 1.

Or

Ainsi :

Dans le formalisme grand canonique, Le grand potentiel J s’écrit :

Dans l’approximation continue, l’équation devient :

Dans l’espace des impulsions, le nombre d’électrons s’écrit :

Ainsi

Cette équation peut s’intégrer par parties :

L’énergie relativiste s’exprime sous la forme :

D’où :

Si maintenant on se place à température nulle, le premier terme qui est facteur de la température s’annule, la fonction de Fermi N^F vaut l’unité comme on l’a vu au paragraphe précédent et l’on n’intègre que jusqu’à p_F. Par conséquent il vient :

Enfin la pression quantique électronique peut donc s’écrire :

Si on pose :

On trouve finalement que :

En reprenant les expressions de la densité on a :

Effectuons le changement de variable suivant :

Notre pression devient donc :

Il faut linéariser le sinus hyperbolique :

L’intégrale se réécrit donc :

On respire un grand coup et on rechange de variable  :

Finalement, la pression quantique peut se mettre sous la forme : (x = x_F)

L’équation fondamentale de l’astrophysique Newtonienne pour un corps sphérique de masse M et de rayon R s’écrit :

La variation élémentaire de l’énergie en fonction du rayon donne donc :

La variation de cette énergie équivaut pour un gaz parfait au travail de la pression par rapport au volume soit :

La condition d’équilibre prise ici est que la pression due à l’exclusion d’un même état quantique (principe de Pauli) est contrebalancée par la pression due à l’effondrement gravitationnel de l’étoile sous son propre poids. Ainsi on peut écrire :

Or :

Ainsi, en fonction du rayon r, on obtient l’équation suivante :

Effectuons le changement de variable suivant :

Reprenons l’équation de l’astrophysique en y introduisant la formulation intégrale de la pression quantique vue au paragraphe précédent, on a alors :

On pose :

Ainsi notre équation s’écrit plus simplement :

Finalement, on arrive à l’équation suivante :

La masse d’une sphère en fonction de son rayon et de sa densité s’écrit ainsi :

La résolution de l’équation précédente va nous donner des couples de valeurs qui sont reliés au couples (M,R)m en fonction de x. Il va nous falloir faire varier le paramètre initial x₀ et relever les valeurs de l’intégration x variant de x₀ à 0.

Simulation numérique :

Le logiciel Matlabä possède ses propres routines de résolution d’équations différentielles (ODE, méthode Runge-Kutta). Seulement, il ne peut résoudre que les équations du premier ordre, il nous faut donc découpler notre équation du second ordre en un système de deux équations du premier ordre, pour cela posons :

Ainsi nous obtenons le système :

Reste à introduire les relation de masse et rayon que l’on défini précédemment, posons par exemple :

Programme principal en langage Matlabä  :

Et la fonction appelée par la routine d’intégration ODE45 :

Pour différentes valeurs de m = A/Z nous obtenons les courbes suivantes :

Figure 2

Il apparaît donc une masse limite dite masse de Chandrasekhar (M_{Ch @} 1.44 M� pour m = 2) quand le rayon diminue. Ceci est du au fait que le principe d’exclusion de Pauli (pris comme hypothèse pour les calculs) ne permet pas que deux fermions (électrons) puissent se rapprocher infiniment l’un de l’autre (en d’autres termes avoir le même état quantique). Ainsi une naine blanche, qui n’est pas une étoile dégénérée (comme une étoile à neutrons), voit son rayon lié à sa masse en fonction de sa composition (rapport Z/A) avec toutefois une limite, i.e. une étoile ne pourra devenir une naine blanche que si sa masse est inférieure M_Ch. Au delà, nous aurons affaire à des étoiles à neutrons ou à des trous-noirs.

Enfin, la connaissance de deux paramètres entre rayon, masse et composition nous permet de déduire le troisième. Ainsi, Sirius B dont la composition doit être connue par analyse spectroscopique et la masse par analyse de son mouvement gravitationnel dans le repère galactique, a un rayon à peu près 10^-1 à 10^-2 fois plus petit que le soleil.

L’approximation des étoiles polytropes consiste à dire que la pression et la densité sont reliées par une pure loi de puissance :

Où K et g sont des constantes.

Si on reporte cette relation dans la formule qui relie la pression en fonction du rayon pour un système sphérique homogène on obtient :

Les conditions aux limites nous donne :

Effectuons le changement de variable suivant :

Notre équation peut alors être mise sous la forme dite de Lane – Emden :

Cette équation peut être résolue exactement de manière analytique. Cependant, nous pouvons approximer dans les deux cas extrêmes des particules relativistes où non.

Considérons un volume V contenant N particules. Alors, l’énergie totale E est donnée par la règle "  par degré de liberté " soit :

(ainsi pour un gaz monoatomique évoluant dans l’espace à trois dimensions, a = 3 ).

La loi des gaz parfaits ne fait intervenir que la densité de particules :

D’où la relation :

Supposons maintenant que dans le cas général (hors gaz parfaits) on ait :

Si l’on compresse un gaz de manière adiabatique ( i.e. en ne considérant pas les phénomènes thermiques ce qui est le cas ici puisqu’on a dit qu’une naine blanche avait épuisé tout son carburant d’hydrogène ) le premier principe de la thermodynamique (conservation de l’énergie) nous dit que :

où E est l’énergie, P la pression et V le volume.

Ainsi :

L’intégration donne :

Or si on injecte ce résultat dans notre équation polytropique on obtient :

g ’ = g - 1

et donc :

Reste à exprimer cette relation dans le formalisme de Fermi-Dirac :

Deux cas extrêmes se présentent ici à savoir l’énergie d’une électron est elle relativiste ou non. Dans le cas non relativiste, on peut écrire :

Soit :

  (électrons non relativistes)

Pour le cas des électrons ultra relativistes on a et donc :

Soit :

   (électrons ultra relativistes)

Reprenons maintenant l’expression de la pression quantique trouvée au premier paragraphe :

       avec   

Dans les deux cas, on peut donc exprimer  :

La simulation numérique nous donne les résultats suivants :

Figure 3

Il apparaît donc que les deux cas extrêmes délimitent le domaine de variation pour g . Quand la densité devient de l’ordre de plusieurs , g diverge fortement et ce que l’on considère les électrons relativistes ou pas. L’approximation polytropique ne convient plus alors. La pression (en puissance de g pour un polytrope) augmenterait infiniment. On se rend compte ainsi intuitivement qu’il existe donc une limite à ne pas dépasser, limite qui conduit à la masse de Chandrasekhar comme on l’a vu précédemment.

Les naines blanches ayant une densité de l’ordre de 10⁶g.cm^-3 peuvent donc être approximée de la sorte.